jueves, 9 de octubre de 2008

Razonamiento Matematico (apuntes)



Razonamiento Matematico



Ing. Industrial

Ing. Armando Sanches



Fundamentos



I-----------I----------I

Negativos Cero Positivos

Racionales Irracionales Racionales Irracionales

Enteros, Fracción. √2 Enteros Fraccionarios ³√8





Numeros reales


Identidad a= a
Reciproco si a= b b= a
Translatividad si a= b y b= c entonces a= c
Suma o adicion a= b y c= d entonces a+c= b+c
uniformidad
Conmutatividad a+b = b+c
Asociatividad (a+b)+c = a+(b+c)


Axioma de identidad o modulo de la suma:


Hay un numero y solo un numero, el cero de modo que a+0 = 0+a = a, para cualquier valor de a, de hay que el cero reciba el nombre de elemento identico o modulo de la suma.


Multiplicacion


Uniformidad si a=b y c=d entonces ac=bd
Conmutatividad ab = ba
Asociatividad (ab)c= a(bc)
Distributividad a(b+c) = ab+ ac


Existencia del inverso:
Para todo numero real a diferente de cero corresponde a un nuemro real, y solo uno, x, de modo que ax=1. Este numero x se llama inverso o reciproco de a y representa 1/a.

Axioma de orden
Tricotomia a> b; a= b, a<>
Monotonia de la suma si a> b, a+ b> b+ c
Monotonia de la multiplicacion a > b y c > 0 entonces ac > bc


Operaciones fundamentales con los numero relativos

I-----I-----I------I-----I------I------I
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
49/27=1.81
2+(3·5)+4(-1)-3= 10
2+15-4-3=10
17-4-3=10
10=10



31/7x(51/4)²x51 1/2=12.37
360
(22/7)(441/16)(103/2)= 12.37
360


Para hornear un pavo se requiere por cada .5kg, 3/4 de hora a fuego.¿cuanto tiempo se necesita para hornear un pavo de 5kg?
R= 7.5h



Numeros primos
Son los que se pueden dividir entre ellos mismos y la unidad. El 1 no es numero primo.

Descomposición factorial
a (a+b) = a²+ab
(x+2)(x+3)= x²+5x+6
x²+4x+4=
Raíz x²=x
Raíz 4=2
(x+2)(x+2)= x²+4x+4


Descomponer en factores o factorizar
a²+2a= a(a+2)
10b-30b²= 10b(1-3b)
10a²-5a+15a³=5a(2a-1+3a²)
18mxy²-54m²x²y²+36my²= 18my²(x-3mx²+2)
6xy³-9nx²y³+12nx³y³-3n²x4y³= 3xy³(2-3nx+4nx²-nx³)


Factor común por polinomio
X(a+b)+m(a+b)= (a+b)(x+m)
2x(a-1)-y(a-1)= (a-1)(2x-y)


Ejercicio 89
1.-a2+ab= a(a+b)
2.-b+b2= b(1+b)
3.- x2+x= x(x+1)
4.-3a3+a2= a2(3a-1)
5.- x3-4x4= x3(1-4x)
6.-5m2+15m3= 5m(1+3m)
16.-a3+a2+a= a(a2+a+1)
17.-4x2-8x+2= (2x²-4x+1)
18.-15y³+20y²-5y= 5y(3y²+4y-1)
19.-a³-a²x+ax²= a(a²-ax+x²)
20.-2a²x+2ax²-3ax= ax(2a+2x-3)
21.-x³+x5-x7= x³(1+x²-x4)
22.-14x²y²-28x³+56x4= 14x(xy²-2x²+4x³)
23.-34ax²+51a²y-68ay²= 17a(2x²+3ay-4y²)
24.-96-45mn²+144n³= 48(2-mn²+3n³)
25.-a²b²c²-a²c²x²+a²c²y²= a²c²(b²-x²+y²)
30.-25x7-10x5+15x3-5x2= 5x2(5x5-2x3+3x-1)
31.-x15-x12+2x9-3x6= x6(x9-x6+2x³-3)
34.-12m²n+24m³n²-36m4n3+48m5n4=12m²n(1+2mn-3m²n²+4m³n³)



Ejercicio 90
1.-a(x-1)+b(x+1)= (x+1)(a+b)
2.-x(a+1)-3(a+1)=( a+1)(x-3)
3.-2(x-1)+y(x-1)= (x-1)(2+y)
4.-m(a-b)+(a-b)n= (a-b)(m+n)
5.-2x(n-1)-3y(n-1)= (n-1)(2x-3y)
6.-a(n+2)+n+2= (n+2)(a+1)
7.-x(a+1)-a-1= (a+1)(x-1)
8.-a²+1-b(a²+1)= (a²+1)(1-b)
9.-3x(x-2)-2y(x-2)= (x-2)(3x-2y)
10.-1-x+2a(1-x)= (1-x)(1+2a)
13.-a³(a-b+1)-b²(a-b+1)= (a-b+1)(a³-b²)
15.-x(2a+b+c)-2a-b-c= (2a+b+c)(x-1)
16.-(x+y)(n-1)-3(n+1)= (n+1)(x+y-3)
17.-(x+1)(x+2)+3y(x-2)= (x-2)(x+1+3y)
18.-(a+3)(a+1)-4(a+1)= (a+1)(a+3-4)


Problemas con numeros fraccionarios y razonamiento deductivo


Sara pidio 100 refrescos de naranja y de cola en una tienda. Los de naranja se los dieron a 60 centavos y los de cola a 50 centavos. Si pago en total 56 pesos.¿Cuantos refrescos de naranja pidio?
R= 60 refrescos de naranja.

3 cuadrillas de pizcadores levantan una cosecha en 10 dias.¿Cuantos dias harian el mismo trabajo 15 cuadrillas en las mismas condiciones?
R=2 dias.

Mario tiene 36 años, hace 14 años tenia el doble de la edad que tenia Ricardo en ese momento. ¿Cuantos años tiene Ricardo?
R=25 años.

Mañana tendre una fiesta en mi casa, Andrea llegara a las 11 pm con sus dos hermanos y se iran a la 1 am. Raul vendra con 4 amigas y llegara a las 10 pm para retirarse a las 2 am, Isabel su hermana y sus respectivos novios quedaron de llegar desde las 9 porque se tienen que ir a las 11 pm. Mi hermano estara conmigo todo el dia.¿Cuantas sillas necesito como minimo para que podamos estar todos sentados durante la fiesta?
R=11 sillas.


Operaciones con fracciones
La señora Garcia compro 4 1/2metros de tela para hacer trapos de cocina, si cada trapo lleva 3/4 de metro de tela.¿Cuantos trapos podra hacer?
R= 16/4 entre 3/4= 6 trapos.

Si un terreno tiene una area de 120 metros cuadrados y otra tiene 320 metros cuadrados. La razon del primero con respecto al segundo es:
R= 1/3.

Un ciclista recorre 90km en 2hrs.¿Cuantos km recorrera en un minuto?
R= 3/4 de km

¿Cual es el maximo comun divisor de 72 y 90?
R= 18.

Si una hacienda de 320 hectareas tiene cultivado el 85% de su tierra.¿Cuantas hectareas tiene cultivadas?
R= 272 hectareas.

Un terreno de forma rectangular mide el doble de largo que de su ancho y su area es de 128 metros cuadrados.¿Cuales son sus dimensiones?
R= 8x6metros.

¿Cual es la medida de la diagonal de un terreno rectangular cuyas dimensiones son 16x8?
R= 17.88



Binomio al Cuadrado

1.- (4a+3b)² = 16a²+24ab+9b²

2.-(5c+2e)²= 25c²+20ce+4e²

3.-(8x-3y)²= 64x²-48xy+9y²

4.- (a+7b)2=a2+14ab+49b2

5.-(7x+5y)2=49x2+70xy+25y2

6.-(3x3+2y)2=9x6+12x3y+4y2

7.-(5x2-3y3)=25x4-30x2y3+9y6

8.-(6a-4b4)=36a-248ab4+16b8

9.-(a2-2b)=a2-4a2b+4b2

10.-(4x2+z4)=16x6+8x3z+4z6



Binomio al Cubo
1.- (2x - 3y)³ = 8x³+-36x2y +54xy2 -27y3
2.- (5x + 2y)³ = 25x4 +90x²y+60xy²+8y3
3.- (4a+ 5b)³ = 16a3+240a2b+300ab2+125b3
4.- (a - 4c)³ = a3-12a²c+48ac²-64c3
5.- (3x - 6y)³ = 27x³-162x2y+324xy2-216y3



Divisiones

1.-(3x2y3z)/(6xyz)=.5xy2

2.-(5ab2c4)/(3ab3c5)= 1 2/3b-1c-1
3.-(12pq)/(-4p2qR)= -3pr-1

4.-(18a2b3c4)/(3ab2n2)= 6abc4/n2

5.-(8x4y3z2)/(4x2y2z)= 2x2yz

6.-(2x-1)5/(2x-1)=

7.-(a+b)3/(a+b)2= a+b

8.-(8c-1)/(8c-1)= 1

9.-(12mn2-18m3)/(3m)= 4n2-6m2

10.-(14a2bc-8b2a2c)/(2bc2)= 7a2c-1-4a2bc-1

11.-(3x2y-4xy2+7x3y3)/(xy)= 3x-4y+7x2y2

12.-(x6-2x4y2-3x2y4)/(-3x3y3)= --

13.-((3x-2)2-2y(3x-2))/(3x-2)= 18x2y-24xy-8y

14.-((a-b)5-(a-b)4)/(a-b)5)= -(a-b)4

15.-(2x2+xy6y2)/(x-2y)=--

16.-(2y25y6)/(2y-1)= --

17.-(x2-4x-4)/(x-5)= x+1 R=1

18.-(2x4-5x3-7x2+10x)/(2x2+x-5)= x2-3x

19.-(5m6-8m4-10m5+21m3-11m2+2m)/(m2-2m)= 6m4+2m3-4m2+13m+15 R=32m

20.-(9x7-6x6-3x5+x4-5x3+4x2-x3)/(3x3-2x2+x-1)= 3x4+2x2+2x-1 R=2X4+2X2+2X+2

21.-(3a2-2ab+b2)/(a-2b)= 22-(8a2-6ab+12b2)/(2a-3b)= 3A+4B R=9B2

23.-(8x3-36x2y+54xy2-27y3)/(2x-3y)= 4x2-12xy+9y2

24.-(6x3+4x2y2-15xy-10y3)/(2x2-5y)= 3x+2y2

25.-(10y4-7y3+16y2-23y+4)/(2y3-y2+3y-4)= 5y-1
26.-(2t4-7t3+t2+7t-3)/(t2-1)= 2t2-7t+3

27.-(3x8+7x7+2x6-10x4-5x3+3)/(x3+3x4-1)=x4+2x3-3

28.-(x6-8y6)/(x4+2x2y2+4y4)= --

29.-(x4n-2x2ny2n+y4n)(x2n-2xn yn + y2n)=--
30.-(3x35x2 y8 xy2-2y3)/(3x+y)= --

31.-(x2y6x3 12xy2-6y3)/(2x-y)= --

32.-(2x2+3xy-2y2-2x+6y-4)/(x+2y-2)= --

33.-(x3-y3)/(x-y)= (x2+x2)

34.-(x5+y5)/(x+y)= (x4+y4)

35.-(x7+y7)/(x-y)= --




Divisione sintetica


1-(3x2-2x-4)/(x+3)= (3x2-9x-25)(x+3)-79


2.-(2x4-x3-18x2-7)/(x+3)= (2x3-7x2+3x-9)(x+3)+20


3.-(4y5-27y3+15y2+5)/(y-1)= (4y4+4y3-23y2-8y-8)(x-1)-3


4.-(5x4-10x-1)/((x-2)= (5x3+10x2+20x-30)(x-2)-61


5.-(5x4-10x-1)/(x+2)= (5x3-10x2+20x-50)(x+2)+99


6.-(8x5-3x2-1)/(x-1)= (8x4+8x3+8x2+5x+5)(x-1)+4


7.-(7x7-5x5-3x3-x-1)/(x+2)= (7x6-14x5+23x4-46x3+89x2-178+355)(x+2)-711


8.-(24x6-11x3+1)/(x-(1/2))= (24x5+12x4+6x3-8x2-2x-1)(x-1/2)-1/2


9.-(x9-y9)/(x-y)= (x8-y8)


10.-(x5-3x4+x2-x+2)/(x-2)= (x4-x3-x2-3x)(x-2)-4


11.-(3x4+x2-2)/(x-(1/2))= --


12.-(16a4-1)/(a(-1/2))= (16a3+8a2+4a+2)(a-1/2)


13.-(6x4-8x2+x-2)/(x(-1/2))= --


14.-(2x5-3x2+5)/(x+2)= (2x4-4x3+8x2-19x+38)(x+2)-71


15.-(9x7-12x5+x+2)/(x-5)= --


16.-(x6-kx4-x2+7)/(x-2)= --

17.-(kx2-x+3)/(x+2)= --


18.-(kx2-x+3)/(x-3)= --


19.-(9x4-35x3+kx2+kx-4)/(x-4)= --


20.-(8x3-25x2+12x-27)/(x-3)= (8x2-x+9)(x-3)


21.-(5x3+2x4-7x+2)/(x+5)= --


22.-(x7-y7)/(x+y)= --


23-(x5-y5) ÷(x-y)=(x4-y4)
24-(81x8+26x4-x+3) ÷(x-1/3)=--




Numero natural: Los numeros con los que contamos (tambien se les llama enteros positivos) { 1,2,3,4....}
Numeros enteros: Conjunto de todos los numeros naturales con sus opuestos ( negativos ) y el cero (0) {-2,-1,0,1,2}
Numeros racionales: Conjunto formado con todos los numeros que se pueden escribir en la forma: m/n (con decimales )
Numeros reales: Todos los racionales e irracionales ( con decimales no repetitivos )
Numero: es cada uno de los entes abtractos que forma una serie ordenada y que indica la cantidad de elementos de un conjunto.
Numero primo: Es un entero positivo y que solo se pued dividir entre si mismo y la unidad.









PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Triconomia: Para dos numeros reales cualquieraa y b , solo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
a›b
a=b
a‹b

Simetría: Las relaciones de inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto: para dos números reales, a y b:
Si a › b entonces b ‹ a
Si a ‹ b entonces b › a

Adición y sustracción: Para tres números reales a, b y c :
Si a ›b entonces a +c › b +c y a-c › b-c.
Si a‹b entonces a+ c ‹ b+ c y a-c ‹ b-c

Multiplicación y división: Para tres números reales a, b y c.
Si c es positivo y a › b, entonces a x c › b x c y a/c› b/c
Si c es positivo y a ‹ b entonces a x c ‹ b x c y a/c ‹ b/c.
Si c es negativo y a › b entonces a x c ‹ b x c y a/c ‹ b/c.
Si c es negativo y a › b, entonces a x c › b x c y a/c› b/c.

Ejercicios
1.5x/2 ‹ 20
5x ‹ 20(2)
5x ‹ 40
X‹40/5
x‹ 8

2. 10x = 50
X=50/10
X=5

3. 5x+2 ‹ x-6
5x-x ‹-6-2
6x ‹ -8
x‹ -8/6
x‹ -4/3

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